2.2 結構性網格的生成(Structured Grid Generation)

 

2.2.1 二維結構性網格點生成步驟

 

結構性網格之生成方法大致有二種:一是代數法、一是偏微分法。代數法的優點是速度快,但是網格不平滑,可能重(overlap)或扭曲(skew)偏微分法其網格較平滑、絕不重疊,且比較傾向正交,但是速度慢,所以綜合二法,先以代數法產生較粗略網格,再以偏微分法修改為較平滑之網格。

網格點生成之基本要求是在一個具有四個邊界的區域內建立網格點,使得任意兩條同族的網格線不相交,且所有的網格點均在區域內部或邊界上。其基本概念如圖2-4所示,應用一對一映射(mapping)關係,將分割好之物理域(physical domain)邊界映射到分配網(distribution mesh),利用分配網與計算域(computational domain)算出物理域格點位置。

 

physical domain       distribution mesh     computationsl domain

2-4 成一對一關係之物理域、分配網及計算域

 

故其詳細處理步驟可分列如下:

l.物理域邊界之分割:

 

2-5 物理域邊界之分割

如圖2-5所示,將物理域之邊界依照所需分割份數先行分割與記錄如下。

                        (1)

 

2.物理域邊界弧長之正規化(normalizing arc length)

 

 

2-6 物理域邊界弧長之無因次化

 

如圖2-6所示,將分割完成之物理域邊界,經由下列弧長之正規化公式

                     (2)

 

其中 ,可得圖4所示之分配網邊界。

2-7 正規化後之分配網邊界

從步驟1中之邊界點座標經正規化化所得之四個邊界正規化弧長為

                        (3)

 

3.分配網(distribution mesh)

 

2-8 分配網之交點

 

分配網是用來定義物理域格點之分配情形,將邊界上正規化的點以直線連接,即形成分配網,其中分配網之交點可由線性內插法求得。如圖2-8所示,交點座標可表示為

 

                           (4)

 

4.物理域分割曲線數學式:

由分配網之各點座標,配合下列各種曲線的描述方法,計有Linear , Lagrange , Hermite , Bazier , B-Spline等數種數學曲線處理方式。由彼等方式可決定物理域內部的各點座標,可寫為

                                     (5)

 

其中

以上各種方法通常均使用二維三次曲線參數式來決定xy座標,表示為下列式子

                                             

 

就內插方式來說一般可分為單向內插法和雙向內插法:

(i)單向內插法-以Lagrange法為例

 

2-9 說明以四點決定一曲線之Lagrange法示意圖

 

Lagrange內插法以四點表示的公式為

                             (7)

其中

                       (8)

 

關係式(7)若以曲線參數式來表式可為

                           (9)

 

如圖2-9所示,將四點之座標值代入後可得

                     (10)

 

其矩陣表示式為:

                        (11)

 

所以可以計算出係數,表示為

                                     (12)

 

其中,如此關係式(9)可完全決定。

(ii)雙向內插法(Transfinite interpolation)

設平面上任一點之座標,若以方向之內插法參數式來表示

                        (13a)

 

則與整個邊界吻合(match)。若以方向之內插法參數式來表示

                                (13b)

則與四個頂點吻合。

由關係式(13a),(13b),(14)結合而成Transfinite interpolation的形式為

                   (15)

 

如此便與物理域之所有邊界完全吻合。